泡沫铝子弹撞击下多孔金属夹芯板的塑性动力响应研究二十

动力响应
由于结构和载荷的对称性，取八分之一模型进行分析，如图3-3所示：
实验中撞击夹芯板的子弹为圆柱体,理论分析中,按照等面积的办法将圆截面子弹等效为方截面子弹，即：πr² = 4R²
其中，r为泡沫子弹圆截面的半径，R为等效方截面的半边长。
模型中CD和EF表示两条塑性铰线，它们的移动速度分别为ξ1和ξ2,方向如图3-3所示，GH为铰线的初始位置(即子弹作用边缘)。L为板的半边长。
根据动量守恒定理，有：

其中，l₁、l₂分别为铰线CD和EF的长度。

则(3-11)式两边分别对ξ₁和ξ₂积分，得：

Rξ₁ + 1/2ξ₁²    = Rξ₂ - 1/2ξ₂²                                                                   (3-12)

解之得：

ξ₁  = √1-ξ₂² + 2Rξ₂  - 1                                          (3-13)

根据塑性铰线的移动情况，在夹芯板的动力响应阶段，可以进一步将运动过程细分为三相。第一相的运动示意图如图3-4所示，根据动量矩定理，有

mA₀v₁(L- 2/3R) = mA_cv_c[L-2/3(R-ξ₂)] 

+ ʃ₀^ξ1+ξ2m(R + ξ₁ - χ)χ₁v₁/(ξ₁ + ξ₂)[L -(R + ξ₁ - χ)]dx

+（M_0U + M_0C）t + 1/2N₀v₁t²                                          (3-14)

其中A₀=1/2R²，A_c=1/2(R-ξ₂)²，m=2p_fh+p_cc。

下面分别对方程(3-14) 右边各项进行计算。

第一项:

mA_cv₁[L-2/3(R-ξ₂)]

= mv₁1/2(R-ξ₂)²[L-2/3(R-ξ₂)]

= mv₁(1/2R² -Rξ₂ +1/2ξ₂²)[(L-2/3R)+2/3ξ₂

= mv₁[1/2R²(L-2/3R)+(R² -RL)ξ₂ +(1/2L-R)ξ₂² +1/3ξ₂³]

第二项:

  ʃ₀^ξ1+ξ2 m(R + ξ₁ - χ)χv₁/(ξ₁ + ξ₂)[L - (R+ξ₁ - χ)］dχ

= mv₁/(ξ₁ + ξ₂)ʃ₀^ξ1+ξ2 [(R+ξ₁)(L-R-ξ₁)χ+(R+ξ₁)χ²-(L-R-ξ₁)χ²-χ³]dχ

= mv₁/(ξ₁ + ξ₂)［1/2(R+ξ₁)(L-R-ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)²+1/3(R+ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)³

- 1/3(L-R-ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)³  - 1/4(ξ₁ + ξ₂₎⁴］

= mv₁[1/2(R+ξ₁)(L-R-ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)+2/3(R+ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)²

- 1/3L(ξ₁ + ξ₂)²  -1/4(ξ₁ + ξ₂)³ ］

则(3-14)式化为:

1/2R²(L-2/3R)=1/2R²(L-2/3R) +(R²-RL)ξ₂

 +（1/2L-R）ξ₂² +1/3ξ₂³  + 1/2(R+ξ₁)（L-R-ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)

 +［2/3(R+ξ₁)-1/3L］(ξ₁ + ξ₂)²  -1/4(ξ₁ + ξ₂)³                                                 (3-15)

则(3-15)式进一步简化为
N_ot₂/2m + (M_0u + M_0c)t/mv₁+β₁=0                                       (3-16)

(3-16)式即为塑性铰线的移动规律。由于两条铰线移动的速度不同，依据式(3-13),假设当铰线EF到达中心点的同时铰线CD也到达固支边，容易得到此时对应R的取值为R/L=1/√2。因此，在下面分析中，据R/L的比值分情况讨论。

a当R/L<1/√2时，铰线EF首先到达板的中心点，此时铰线CD未到达固支边，该运动相结束时ξ₂=R，代入(3-16) 式可得
β₁ = 1/3R²-1/2R²L+[1/6L-1/12(R+ξ₁)］(ξ₁+R)²

则铰线EF的运动规律由(3-16)式描述，将t=T₁代入(3-16)式可得
N_oT₁²/2m = (M_0u + M_0c)T₁/mv₁+β₁=0                      (3-17)

解(3-17)式可获得该运动相的时间为
T₁ = (M_0u + M_0c)/N₀v₁［√1-2N₀mv₁²β₁/(M_0u + M_0c)²-1］                  （3-18）

在时间T1时，板中心点的挠度为：
W₁ = v₁T1 = (M_0u + M_0c)/N₀［√1-2N₀mv₁²β₁/(M_0u + M_0c)²-1］             (3-19)